Bonsoir s'il vous plaît j'ai besoin de l'aide. Résoudre : cosX + sinX = tanX + cotanX

Réponse :

Explications étape par étape :

■ cos a + sin a = (sin a / cos a) + (cos a / sin a)

                        = (sin²a + cos²a) / (cos a sin a)

                        = 1 / (cos a sin a)

                        = 1 / (0,5 sin2a)

■ cos a + sin a = 2 / sin2a

■ sin2a (cos a + sin a) = 2

■ tableau :

      angle â --> 0°        30°         45°       90°

         sin2a --> 0       0,5√3        1           0

cos a + sin a -> 1     0,5(1+√3)    √2         1

      produit --> 0        1,183        √2         0

■ conclusion : ce produit ne vaudra jamais 2 ;

donc il n' y a pas de solution à l' équation proposée !

Réponse :

Salut !

Avec un peu de trigo, on peut montrer "proprement" que l'équation sin(2x)(cos x + sin x) = 2 n'a pas de solutions (le reste étant détaillé à la perfection par le camarade, je ne reviens pas dessus).

Pour cela, on va transformer l'écriture : soit A = sin(2x)(cos x + sin x)

[tex]A = \sin(2x) \cdot \sqrt 2 \left[\cos x \frac{\sqrt 2}{2} + \sin x \frac{\sqrt 2}{2}\right]\\\\A= \sqrt 2 \sin(2x) \left[\cos x \sin \frac{\pi}{4} + \sin x\cos \frac{\pi}{4}\right]\\\\A = \sqrt 2 \sin (2x) \sin \left(x+\frac \pi 4\right)[/tex]

(on a utilisé la formule d'addition : sin (a+b)).

Dès lors, sous cette forme, on montre assez facilement que la valeur absolue de A est majorée par √2. Ce qui exclut de fait A = 2.  

Explications étape par étape