Bonsoire svp qui peut m’aider pour ce dm je doit le rendre demain j’y arrive pas du tout. C’est un dm de mathématiques sur les suites de niveau premiere merci b

Réponse :

1) justifier que la suite (Un) définie par  Un = 17 x 5ⁿ est géométrique

     U0 = 17 x 5⁰ = 17

     U1 = 17 x 5¹ = 85

     U2 = 17 x 5² = 425

U1/U0 = 17 x 5/17 = 5

U2/U1 = 17 x 5²/17 x 5 = 5

.

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Un+1/Un = 5   ⇔ Un+1 = 5 x Un    (Un) est une suite géométrique de raison q = 5 et de premier terme U0 = 17

on pourra aussi justifier directement  puisque  Un = 17 x qⁿ  est de la forme Un = U0 x qⁿ   pour tout entier naturel n  (Un) est une suite géométrique

de premier terme U0 = 17 et de raison q = 5

2) justifier que la suite (Un) définie par Un = n³ + 10 n'est pas géométrique

       U0 = 10

       U1 = 11

       U2 = 18

        U3 = 37

U1/U0 = 11/10 = 1.1

U2/U1 = 18/11 ≈ 1.6

U3/U2 = 37/18 ≈ 2.06

on a ;  U1/U0 ≠ U2/U1 ≠ U3/U2   donc  la suite (Un) n'est pas géométrique

3) justifier que la suite (Un) définie par Un = 5 n + 9  est arithmétique

la suite (Un) est de la forme pour tout entier naturel n;  Un = U0 + r n  de premier terme U0 = 9 et de raison r = 5  est une suite géométrique

on pourra utiliser cette méthode de justification

U0 = 9

U1 = 14

U2 = 19

U3 = 24

U1 - U0 =   14 - 9 = 5

U2 - U1 = 19 - 14 = 5

U3 - U2 = 24 - 19 = 5

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Un+1 - Un = 5  ⇔ Un+1 = 5 + Un   donc (Un) est une suite arithmétique de raison r = 5

4) justifier que la suite définie par  Un = n² - 3 n   n'est pas arithmétique

   U0 = 0

   U1 = - 2

   U2 = - 2

   U3 = 0

U1 - U0 = - 2

U2 - U1 = - 2 - (- 2) = 0

U3 - U2 = 0 - (- 2) = 2

on a; U1 - U0 ≠ U2 - U1 ≠ U3 - U2   donc la suite (Un) n'est pas arithmétique

5) sachant que Un = n² - n  pour tout entier naturel n, que vaut Un+1 ?

         Un+1 = (n+1)² - (n+1) = n²+2 n +1 - n - 1 = n² + n

6) quel est le pourcentage global de son augmentation sur cette période

    soit  p : prix d'un article

         1er mois  :  p' = p + 0.02 p = 1.02 p

         2ème mois  :  p'' = 1.02 p + 1.02 p = 1.02² p

          pn = p x 1.02ⁿ   suite géométrique

      le pourcentage globale d'augmentation est :  1.02⁴ - 1 ≈ 0.0824  

soit  8.24 %  

7) exprimer Un+1 en fonction de Un

    U1 = U0 + 0.15U0 = 1.15U0

    U2 = U1 +0.15U1 = 1.15U1

     donc  Un+1 = 1.15 Un

8)  U1 = U0 - 0.08U0 = 0.92U0

    U2 = U1 - 0.08U1 = 0.92U1

donc    Un+1 = 0.92Un

9) sachant que Un+1 = 2Un + 3  pour tout entier naturel n; exprimer Un+2 en fonction de Un+1 , puis en fonction de Un

       Un+2 = 2Un+1 + 3

        Un+2 = 2(2Un + 3) + 3 = 4Un + 9

                                      =          

Explications étape par étape