Bonjour, j'ai un DM a faire pour mardi en math (terminale) et je bloque sur un exercice: la suite definie par u0=1 et u(n+1)=un+[(4n+7)/3] Démontrez par récurre

Bonjour,

Nous avons la suite (un) définie comme

[tex]\begin{cases}u_0 &=1\\ u_{n+1} &=u_n+\dfrac{4n+7}{3} \text{ pour n } \geq 0\end{cases}[/tex]

Et nous voulons montrer que pour tout n

[tex]u_n=\dfrac{(n+1)(2n+3)}{3}[/tex]

Etape 1 - initialisation

Prenons n = 0

[tex]u_0=1\\ \\\dfrac{(0+1)(2*0+3)}{3}=\dfrac{3}{3}=1[/tex]

C'est donc vrai au rang n = 0

Etape 2 - Hérédité

Supposons que cela soit vrai au rang k, i.e. [tex]u_k=\dfrac{(k+1)(2k+3)}{3}[/tex]

Et montrons que cela reste vrai au rang k+1, à savoir

[tex]u_{k+1}=\dfrac{(k+1+1)(2(k+1)+3)}{3}=\dfrac{(k+2)(2k+5)}{3}=\dfrac{2k^2+9k+10}{3}[/tex]

Allons-y!

[tex]u_{k+1}=u_k+\dfrac{4k+7}{3}=\dfrac{(k+1)(2k+3)+4k+7}{3}[/tex]

par hypothèse de récurrence

et

[tex]u_{k+1}=\dfrac{(k+1)(2k+3)+4k+7}{3}\\\\=\dfrac{2k^2+5k+3+4k+7}{3}\\\\=\dfrac{2k^2+9k+10}{3}[/tex]

Nous venons donc de démontrer que cela reste vrai au rang k+1

Etape 3 - conclusion

Nous venons de démontrer par récurrence que pour tout n entier

[tex]u_n=\dfrac{(n+1)(2n+3)}{3}[/tex]

Merci