Bonjour, pouvez vous m’aider s’il vous plaît. Niveau Terminale Spécialité Maths

Bonjour,

1. Tout d'abord, f est dérivable sur son domaine de définition comme composée de fonctions qui le sont, et

[tex]\forall x \in \mathbb{R}^+\\ \\f'(x)=10u'(x)e^{u(x)}[/tex]

Or

[tex]\forall x \in \mathbb{R}^+\\ \\u'(x)=(-\dfrac{1}{10})\times u(x)[/tex]

donc

[tex]10u'(x)=-u(x)[/tex] et

[tex]f'(x)=-u(x)e^{u(x)}[/tex]

Nous savons que

[tex]( \forall x \in \mathbb{R} ) \ e^x >0[/tex]

donc f'(x) > 0 donc f est strictement croissante sur [tex]\mathbb{R}^+[/tex]

2. u(x) tend vers 0 quand x tend vers [tex]+\infty[/tex]

donc l'exponentiel de u(x) tend vers 1

donc f(x) tends vers 10 quand x tend vers [tex]+\infty[/tex]

3. f' est dérivable sur son ensemble de définition comme composée de fonctions qui le sont et

[tex]\forall x \in \mathbb{R}^+\\ \\f''(x)=-u'(x)e^{u(x)}-u(x)u'(x)e^{u(x)}\\ \\=\left( +\dfrac{1}{10}u(x)+\dfrac{1}{10}u^2(x)\right)e^{u(x)}\\ \\=\dfrac{1}{10}u(x)e^{u(x)}(1+u(x))[/tex]

b.

[tex]1+u(x)=0<=>1-e^{2-x/10}=0<=>e^{2-x/10}=1\\\\<=>2-x/10=0\\\\<=>x=20[/tex]

donc f''(x) est positif de 0 à 20 et négatif ensuite

donc f' est croissante de 0 à 20 et décroissante ensuite.

c.

f' admet son maximum en x = 20

Donc la vitesse de croissance de la longueur de la queue du lézard est maximale au bout de 20 jours.

Merci