Bonjour pourriez-vous m’aider svp je n’arrive vraiment pas

Réponse :

1) déterminer l'expression de f(x) sous forme développée, forme canonique et forme factorisée

f(- 4) = 0 ; f(2) = 0  et f(0) = 8

f(x) = a x² + b x + c  ;  a, b et c des nombres réels

f(0) = c = 8

f(- 4) = 16 a - 4 b + 8 = 0   ⇔ 16 a - 4 b = - 8   ⇔          {16 a - 4 b = - 8

f(2)   = 4 a + 2 b + 8 = 0     ⇔ 4 a + 2 b = - 8   ⇔ x 2   {8 a  + 4 b = - 16

                                                                                     ..................................

                                                                                       24 a + 0 x b = - 24

donc   a = - 1

   4 *(-1) + 2 b = - 8  ⇔ 2 b = - 4  ⇔ b = -4/2 = - 2

l'expression développée de  f(x) = - x² - 2 x + 8

Forme canonique :   S(- 1 ; 9)  coordonnées du sommet de la parabole

    f(x) = - (x + 1)² + 9

forme factorisée :  - (x + 1)² + 9 = - ((x + 1)² - 9) = - ((x + 1)² - 3²)  identité remarquable a²-b² = (a+b)(a-b)

= - (x + 1 + 3)(x + 1 - 3) = - (x + 4)(x - 2) = (2 - x)(x + 4)

  forme factorisée :  f(x) = (2 - x)(x + 4)

2) résoudre f(x) = 5 graphiquement puis par le calcul

graphiquement : les solutions de l'équation f(x) = 5  sont : S = {- 3 ; 1}  

par le calcul   f(x) = 5  ⇔ -(x + 1)² + 9 = 5  ⇔ - (x + 1)² + 4 = 0

⇔ - ((x + 1)² - 4) = 0 ⇔ - (x + 1 + 2)(x + 1 - 2) = 0  ⇔ (1 - x)(x + 3) = 0

1 - x = 0 ⇔ x = 1  ou  x + 3 = 0 ⇔ x = - 3    ⇔  S = {- 3 ; 1}

3) résoudre  f(x) ≥ 0

     f(x) ≥ 0  ⇔ (2 - x)(x + 4) ≥ 0

      x       - ∞             - 4                2               + ∞

   2 - x               +                +        0       -    

   x + 4               -       0        +                 +

    f(x)                 -        0        +       0       -

l'ensemble des solutions est  S = [- 4 ; 2]

5) résoudre en justifiant

     - D est strictement au dessus de P

   ⇔ y - f(x) > 0  ⇔ x + 2 - (- x² - 2 x + 8) > 0 ⇔ x + 2 + x² + 2 x - 8 = 0

⇔ x² + 3 x - 6 > 0

    Δ = 9 + 24 = 33  

   x1 = - 3 + √33)/2

   x2 = - 3 - √33)/2  

     S = ]- ∞ ; - 3 - √33)/2[U]- 3 + √33)/2 ; + ∞[

D ∩ P  : la solution sont les abscisses des points d'intersection de D avec P      on écrit  y = f (x)   ⇔ S = {- 3 - √33)/2 ; - 3 + √33)/2}  

Explications étape par étape