Bonjour ! J'aurais besoins d'aide sur un exercice que je ne comprends pas. Pouvez-vous m'aider ? Merci d'avance ! Bonne journée.

Bonjour,

1. Dire que [tex]z_0[/tex] est une racine de P, revient à dire que [tex]P(z_0)=0[/tex]

Faisons le calcul!

[tex]P(z_0)=(i\sqrt{2})^3-(2+i\sqrt{2})(i\sqrt{2})^2+2(1+i\sqrt{2})i\sqrt{2}-2i\sqrt{2} \\\\=-2i\sqrt{2}+4+2i\sqrt{2}+2i\sqrt{2}-4-2i\sqrt{2}\\\\=0[/tex]

Donc [tex]z_0[/tex] est bien racine de P

2.

Comme  [tex]z_0[/tex] est une racine de P, nous pouvons factoriser par [tex](z-z_0)[/tex]

[tex](z-i\sqrt{2})(z^2+az+b)=z^3+(a-i\sqrt{2})z^2+(b-ia\sqrt{2})z-bi\sqrt{2}[/tex]

Nous pouvons identifier les termes:

[tex]a-i\sqrt{2} = -(2+i\sqrt{2})\\ \\b-ia\sqrt{2}=2(1+i\sqrt{2})\\ \\bi\sqrt{2}=2i\sqrt{2}[/tex]

Donc b = 2 et a=-2

Ainsi,

[tex]P(x)=(z-i\sqrt{2})(z^2-2z+2)[/tex]

b)

[tex]\Delta=2^2-4*2=-4=(2i)^2\\ \\z_1=\dfrac{2+2i}{2}=1+i\\ \\z_2=1-i[/tex]

Nous avons donc toutes les solutions de P(z)=0 qui sont

[tex]z_0, z_1, z_2[/tex]

Merci

Réponse :

bonsoir

Explications étape par étape

1)si z0=iV2 alors (z0)²=(iV2)²=-2 et (z0)³=-2iV2

On remplace dans l'équation

P(z)=-2iV2-(2-iV2)(-2)+2(1+iV2)(iV2)-2iV2

Tu fais de la distributivité sachant que i²=-1 et tu vas trouver P(z)=0   donc  z0=iV2 est une solution

2)P(z)=(z-iV2)(z²+az+b)  à patir de ceci tu développes et tu réduis

P(z)=z³+az²+bz-iV2* z²-iaV2*z-ibV2=z³+(a-iV2)z²+(b-aiV2)z-ibV2

En comparant avec l'expression initiale on note que b=2 et que a=-2

P(z)=(z-iV2)(z²-2z+2)

Les autres solutions de P(z) =0 sont celles de z²-2z+2=0

delta=-4 donc deux solutions complexes

donc z1=(2-2i)/2=1-i et z2=(2+2i)/2=1+i