Bonjour J'aurais besoin d'aide pour un exercice de math de 2nd On considère la fonction f définie par f(x) = x²- (2x×3)² où x désigne un nombre réel. 1. Montrer

Réponse :

bonjour : exercice classique avec lequel il faut être à l'aise.

Explications étape par étape

f(x)=x²-(2x+3)²    expression initiale (attention quand tu recopies)

1) f(x)=x²-(4x²+12x+9)  (identité remarquable)

f(x)=-3x²-12x-9 ceci est la forme développée de f(x)

2) Dans x²-(2x+3)² je reconnais l'identité remarquable a²-b²=(a-b)(a+b)

ce qui donne f(x)=[x-(2x+3)]*[x+(2x+3)]=(-x-3)(3x+3)=3(-x-3)(x+1)=-3(x+3)(x+1)

ceci est la forme factorisée de f(x).

Pour traiter les questions suivantes on utilise la forme la plus appropriée

3) les 3 formes sont facilement utilisables .

Avec la forme développée f(0)=-3*0²-12*0-9=-9

4)f(-2)  facile avec toutes les formes

forme développée f(-2)=-3*(-2)²-12*(-2)-9=-12+24-9=3

forme initiale f(-2)=(-2)²-(-4+3)²=4-1=3

forme factoriséef(-2)=-3(1)(-1)=3

5) f(3V2) .la plus facile et la plus rapide est la forme développée

f(2V3)=-3(2V3)²-12(2V3)-9=-3*12-24V3-9=-45-24V3

6) Les antécédents (s'ils existent)  de 0 par la fonction f sont les solutions de f(x)=0. Pour cela on utilise la forme factorisée

il faut donc résoudre f(x)=0 soit -3(x+3)(x+1)=0

prog de 3éme: un produit de facteurs est nul si au moins l'un de ses termes est nul

solutions:  x+3=0 soit x=-3  ou x+1=0 solution x=-1

les antécédents de 0 par f  sont {-3; -1}

Nota: En 1ère tu verras que l'on peut utiliser la forme développée via le discriminant "delta".

7)  Résolution de f(x)=-9  la forme développée nous permet d'éliminer la constante  (-9) puis de factoriser

-3x²-12x-9=-9 soit -3x²-12x=0 on factorise 3x(-x-12)=0

produit de facteurs (prog. de 3ème)

solutions 3x=0  soit x=0 ou -x-12=0 soit x=-12

les solutions de f(x)=-9 sont {-12; 0}