Pouvez vous m'aider pour cette question de dm de maths niveau terminale svp Sachant que V(n+1) = 2*Vn - 3n - 1 et que V0=5

Bonjour,

■ Hypothèse de récurrence :

[tex]V_{n} = {2}^{n} + 3n + 4[/tex]

■ Initialisation pour n = 0

[tex]V_{0} = 2 {}^{0} + 3 \times 0 + 4 = 1 + 0 + 4 = 5[/tex]

Donc la propriété est vraie pour n = 0

■ Hérédité : Supposons que pour un rang n donné Pn est vraie. Montrons que le rang n+1 l'est aussi.

[tex]V_{n + 1} = 2V_{n} - 3n - 1[/tex]

[tex]V_{n + 1} = 2(2 {}^{n} + 3n + 4) - 3n - 1[/tex]

[tex]V_{n + 1} = 2 {}^{n + 1} + 6n - 3n + 8 - 1[/tex]

[tex]V_{n + 1} = 2 {}^{n + 1} + 3n + 7[/tex]

■ On utilise maintenant l'hypothèse de récurrence :

[tex]V_{n + 1} = {2}^{n + 1} + 3(n + 1) + 4[/tex]

[tex]V_{n + 1} = {2}^{n + 1} + 3n + 3 + 4[/tex]

[tex]V_{n + 1} = 2 {}^{n + 1} + 3n + 7[/tex]

■ Conclusion : Po est vraie, Pn => Pn+1 la propriété est donc vraie pour tout n