Bonjour! J'aimerais de l'aide en math, je suis à mon dernier exercice qui est l'exercice 3 mais il est très compliqué vous pouvez m'aider ? Merci d'avance

Bonjour,

On fait l 'hypothèse qu il existe un nombre fini de nombre premier.

Notons n ce nombre.

Cela veut dire que [tex](p_i)_{1\leq i\leq n}[/tex] est l'ensemble de tous les nombres premiers.

1.

[tex]p_1=2\\ \\p_2=3 \\ \\p_3=5[/tex]

2. Du coup, on voit que n est supérieur ou égal à 3, car nous avons déjà trouvé 3 nombre premiers.

3.

a. Nous pouvons écrire que

[tex]N=p_1\times p_2 \times ...\times p_n+1 \\ \\<=> N-1=p_1\times p_2 \times ... \times p_n[/tex]

donc [tex]p_1[/tex] divise N-1 donc s'il divise N, il divise aussi N-(N-1)=1, ce qui n'est pas possible, donc  [tex]p_1[/tex] ne divise pas N.

b.

De même, considérons que [tex]p_i[/tex] divise N alors il divise N-1 et N, il divise N-(N-1)=1 ce qui n'est pas possible.

Donc aucun [tex]p_i[/tex] ne divise N

c. Cela veut dire que N est un nombre premier

d. Du coup, il y a un problème, car N n'est aucun des [tex]p_i[/tex] et est un nombre premier. Il y a contradiction donc notre hypothèse du départ est fausse et l'ensemble des nombres premiers est infini.

Merci