slt pouvez-vous m'aidez : soit n un entier naturel. 1. Montrer que le nombre: n^2 - 3n + 4 sont pairs. 2. Montrer que 4 divise n^4 - n^2 + 16. merci d'avanc

Bonjour !

n -> entier naturel.

1. Montrer que le nombre n^2 - 3n + 4 est pair.

n² - 3n + 4 = n(n - 3) + 4

4 est pair.

Si n est pair, alors n-3 est impair.

Si n est impair, alors n - 3 est pair.

Donc n(n - 3) est forcément pair.

Donc n(n - 3) + 4 est forcément pair.

2. Montrer que 4 divise n^4 - n^2 + 16.

n⁴ - n² + 16 = n²(n² - 1)  + 16

Si n pair, donc n = 2k :

n²(n² - 1)  + 16 = (2k)² * ((2k)² - 1) + 16 = 4k² * ((2k)² - 1)  + 16 =

4 * ( k² * ((2k)² - 1) ) + 4² = 4 * ( k² * ((2k)² - 1) + 4)

Donc l'expression se divise part 4.

Si n impair, donc n = 2k + 1 :

n²(n² - 1)  + 16 = (2k-1)² * ((2k-1)² - 1) + 16 = (2k-1)² * (4k² - 4k) + 16 =

4(k² - k) * (2k-1)²+ 16 =  4(k² - k) * (2k-1)²+ 4² = 4 * ((k² - k) * (2k-1)²+ 4)

Donc l'expression se divise par 4.

Voilà !

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape

1) montrer que n²-3n+4 est pair.

a) si n est pair alors n=2k

n²-3n+4=4k²-6k+4=2*(k²-3k+2) est donc pair.

b) si n est impair alors n=2k+1

n²-3n+4=(2k+1)²-3(2k+1)+4

=4k²+4k+1-6k-3+4

=4k²-2k+2

=2(2k²-k+1) est aussi pair.

2)

On démontre de la même façon que n²+3n+4 est pair

Comme (n²+3n+4)(n²-3n+4)=n^4-n²+16 (car (a+b)(a-b)=a²-b²))

n^4 -n²+16 est divisible par 4