BONJOUR, pourriez-vous m'aidez à résoudre cet exercice car je n'y arrive pas merci ! Laurent est souvent de bonne humeur, mais pas tous les jours. On sait que :
Question
pourriez-vous m'aidez à résoudre cet exercice car je n'y arrive pas merci !
Laurent est souvent de bonne humeur, mais pas tous les jours.
On sait que :
• si Laurent est de bonne humeur un jour donné, la probabilité qu’il soit à nouveau de bonne humeur le
lendemain est égale à 0,7.
• si Laurent n’est pas de bonne humeur un jour donné, la probabilité qu’il soit de bonne humeur le
lendemain est égale à 0,9.
• Laurent était de bonne humeur le 1er janvier.
On note alors l’événement : « Laurent est de bonne humeur le -ième jour de l’année » et on note la
probabilité de l’événement . On a donc .
1. Montrer que, pour tout entier naturel non nul, on a la relation .
(on pourra s’aider d’un arbre pondéré)
2. On pose, pour tout entier naturel non nul, .
a. Montrer que la suite est géométrique. On précisera son premier terme et sa raison.
b. En déduire que, pour tout entier naturel non nul, on a .
c. Déterminer la probabilité que Laurent soit de bonne humeur le 12 janvier.
1 Réponse
-
1. Réponse croisierfamily
Réponse :
proba(bonne humeur le 12 janvier) = 0,7499999949
Explications étape par étape :
■ Laurent est de bonne humeur le 1er janvier
■ le 2 janvier :
proba(L de bonne humeur) = 0,7
p(L de mauvaise humeur) = 0,3
■ le 3 janvier :
p(bonne humeur) = 0,7² + 0,3x0,9 = 0,49 + 0,27 = 0,76
p(mauvaise humeur) = 0,7x0,3 + 0,3x0,1 = 0,21 + 0,03 = 0,24
■ le 4 janvier :
p(bon hum) = 0,76x0,7 + 0,24x0,9 = 0,748
p(mauv hum) = 0,76x0,3 + 0,24x0,1 = 0,252
■ le 5 janvier :
p(bon hum) = 0,748x0,7 + 0,252x0,9 = 0,7504
p(mauv hum) = 0,748x0,3 + 0,252x0,1 = 0,2496
■ le 6 janvier :
p(bon hum) = 0,7504x0,7 + 0,2496x0,9 = 0,74992
■ le 7 janvier :
p(bon hum) = 0,74992x0,7 + (1-0,74992)x0,9
= 0,750016
■ le 8 janvier :
p(bon hum) = 0,750016x0,7 + (1-0,750016)x0,9
= 0,7499968
■ le 9 janvier :
p(bon hum) = 0,7499968x0,7 + (1-0,7499968)x0,9
= 0,75000064
■ le 10 janvier :
p(bon hum) = 0,749999872
■ le 11 janvier :
p(bon hum) = 0,7500000256
■ le 12 janvier :
p(bon hum) = 0,7499999949
■ on constate qu' il y a rapidement 75 % de chances
pour que Laurent soit de bonne humeur ! ☺
■ recherche de la limite :
Lim = Limx0,7 +(1-Lim)x0,9
Lim = 0,7 Lim - 0,9 Lim + 0,9
Lim = 0,9 - 0,2 Lim
1,2 Lim = 0,9
Lim = 0,9/1,2
Lim = 0,75 .
■ suite géométrique ?
la suite des probabilités de bonne humeur
semble être une suite qui oscille
autour de sa valeur limite 0,75 ,
valeur obtenue une fois amortie !
Pn = Pn-1 x 0,7 + (1 - Pn-1) x 0,9
= 0,9 - (0,2 Pn-1)
Pn+1 = 0,9 - 0,2 Pn
= 0,9 - 0,2(0,9 - (0,2 Pn-1))
= 0,9 - 0,18 + 0,2² Pn-1
= 0,72 + 0,2² Pn-1
Pn+2 = 0,9 - 0,2 Pn+1
= 0,9 - 0,2(0,72 + 0,2² Pn-1)
= 0,756 - 0,2³ Pn-1
tableau :
jour de janvier -> 2 3 4 5
Pn --> 0,7 0,76 0,748 ≈0,75