Bonsoir, pouvez-vous m'aider sur cet exercice ci-joint s'il vous plait ? Merci

Bonsoir,

Montrons par récurrence sur [tex]n \in \mathbb{N}^*[/tex] la propriété suivante :

H(n):"[tex]\sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k}=2+\frac{-n-2}{2^n}[/tex]."

Initialisation : n=1

H(1) est vraie car [tex]\sum_{k=1}^1 \frac{k}{2^k}=\frac{1}{2}=2+\frac{-3}{2}[/tex].

Hérédité : Soit [tex]n \in \mathbb{N}^*[/tex] tel que H(n) soit vraie, et montrons H(n+1).

On a, par HR :

[tex]\sum_{k=1}^{n+1} \frac{k}{2^k}=\sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=2+\frac{-n-2}{2^n}+\frac{n+1}{2^{n+1}}[/tex].

Or : [tex]\frac{-n-2}{2^n}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=\frac{-2n-4}{2^{n+1}}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=\frac{-n-3}{2^{n+1}}=\frac{-(n+1)-2}{2^{n+1}}[/tex]

donc : [tex]\sum_{k=1}^{n+1} \frac{k}{2^k}=\frac{-(n+1)-2}{2^{n+1}}[/tex], d'où H(n+1).

Par principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout [tex]n \in \mathbb{N}^*[/tex], soit :

Pour tout [tex]n \in \mathbb{N}^*[/tex], [tex]\boxed{\sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k}=2+\frac{-n-2}{2^n}}[/tex].