on pose f(x)=(1-2x)(4-x) pour tout reel x a : donner la nature de la fonction f . preciser les coefficients b : dresser le tableau de signe de f c : justifier q

f(x) = (1-2x)(4-x)
f(x) = 4 - x - 8x + 2x²
f(x) = 2x² - 9x + 4

il s'agit d'un polynôme du second degré de la forme y = ax² + bx + c 
avec a = 2 ; b = -9 et c = 4

2x² - 9x + 4 = 0
Δ = (-9)² - 4x2x4
Δ = 49

il y a donc deux solutions : 
x = -4 ou x = -1/2

2 > 0 donc la fonction est convexe

d'où : 
f(x) est positif sur ]-infini ; -4[U]-1/2 ; +infini[

f(x)  est négatif sur ]-4 ; -1/2[

f admet un minimum en S (-b/2a ; f(-b/2a) ==> S (2,25 ; -6,125)

f est décroissant sur ]-infini ; 2,25[

f est croissant sur ]2,25 ; +infini[

f(0) = 4 et f(5) = 9 donc

4 < f(x) < 9

f(x) = 10 admet 2 solution qui sont x ≈ 0,589 et x ≈ 5,10
f(x) = -10 n'admet aucune solution car le minimum est -6,125