TSTMG - Devoir maison n°1 - Fonction inverse Exercice : Une entreprise fabrique chaque semaine une quantité q en tonnes de produit chimique. Elle produit entre
Question
Exercice :
Une entreprise fabrique chaque semaine une quantité q en tonnes de produit chimique. Elle produit entre 10
et 100 tonnes par semaines. Le coût total de q tonnes est donné par la fonction définie sur [10; 100) par :
C(q) = 3q2 + 40q + 2700
Partie A : Coût moyen unitaire.
Le coût moyen unitaire est le coût moyen d'une tonne de produit lorsque q tonnes sont produites. On appelle
Cm la fonction représentant le coût moyen unitaire :
C(q)
Cm(q) =
9
1) Démontrer que pour tout réel q de [10; 100) :
2700
Cm(q) = 39 + 40+
9
2) a) Calculer C(q).
b) Démontrer que pour tout réel q de [10; 100) :
3(9-30) (q + 30)
CM(q) =
q?
3) Dresser le tableau de variations de CM.
4) Quel est le coût moyen unitaire minimal ? Pour quelle quantité de produit chimique est-il atteint ?
Partie B : Coût marginal
Le coût marginal est le supplément de coût engendré par la production d'une tonne de produit
supplémentaire, c'est-à-dire :
Cm(q) = C(q + 1) - C(q)
1) Calculer Cm(20). Interpréter ce résultat avec les données de l'énoncé.
2) Démontrer que pour tout réel q de (10; 100) : Cm(q) = 6 + 43.
3) Déterminer C'9). Quelle est la différence entre Cm (9) et C'(9)?
Remarque : En pratique, on assimile le coût marginal de production à la dérivée du coût total.
1 Réponse
-
1. Réponse croisierfamily
Réponse :
Explications étape par étape :
■ C(q) = 3q² + 40q + 2700 avec 10 < q < 100 tonnes
■ Cm(q) = 3q + 40 + (2700/q)
■ 2a) dérivée Cm ' (q) = 3 - (2700/q²)
cette dérivée est positive pour 3 > 2700/q²
q² > 900
q > 30 tonnes
■ 2b) Cm ' (q) = (3q² - 2700) / q²
= 3(q² - 900) / q²
= 3(q-30)(q+30) / q²
■ 3°) tableau de variation et de valeurs :
q --> 10 20 30 50 70 100 tonnes
variation -> - | +
Cm(q) --> 340 235 220 244 288,6 367 €uros
■ 4°) Coût moyen unitaire mini ( = 220 €/tonne )
obtenu pour q = 30 tonnes !
■ B1°) Cmarg(20) = C(21) - C(20) = 4863 - 4700 = 163 €uros
cela signifie que la 21ème tonne produite coûtera seulement 163 € !
■ B2°) Cmarg(q) = C(q+1) - C(q)
= 3(q+1)² + 40(q+1) + 2700 - 3q² - 40 q - 2700
= 6q + 3 + 40
= 6q + 43
■ B3°) C ' (q) = 6q + 40
il y a une légère différence ( de 3 €uros seulement )
entre le Coût marginal et la dérivée du Coût total .
■ C) comparaison Coût marginal et Coût moyen :
q --> 10 20 30 50 70 100 tonnes
Cmarg(q) -> 103 163 223 343 463 643 €/tonne
Cm(q) --> 340 235 220 244 289 367 €/tonne
♥ c' est bien pour 30 tonnes produites
qu' on obtiendra le Coût moyen le plus faible !
♥ remarque sur l' intersection :
3q + 40 + (2700/q) = 6q + 43
2700/q = 3q + 3
900 = q² + q
q² + q - 900 = 0
q ≈ 29,5 tonnes !