Bonsoir, voici ma question, je bloque dessus depuis plusieurs heures, j'ai vraiment du mal avec les suites numériques. Je suis en Terminale Spé Math. On considè

Réponse :

U0 = 1  

Un+1 = 2Un - n + 3   pour  tout entier naturel n

1) démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a

    Un = 3 x 2ⁿ + n - 2

  Initialisation :  vérifions que pour n = 0  P(0) est vraie

                               U0 = 3 x 2⁰ + 0 - 2 = 3 - 2 = 1   donc  P(0) est vraie

  hérédité :  supposons que pour  tout n ∈ N , P(n) est vraie par hypothèse

                    c'est à dire on pose par hypothèse Un = 3 x 2ⁿ + n - 2 et montrons que P(n+1) est vraie  c'est à dire il faut montrer que

Un+1 = 3 x 2ⁿ⁺¹ + (n+1) - 2

en partant de l'expression :

Un+1 = 2Un - n + 3

         = 2(3 x 2ⁿ + n - 2) - n + 3

         = 2 x 3 x 2ⁿ + 2 n - 4 - n + 3

         = 3 x 2ⁿ⁺¹ + n - 1

         = 3 x 2ⁿ⁺¹ + n  - 2 + 1

         = 3 x 2ⁿ⁺¹ + (n + 1) - 2

Donc  on a démontré que P(n+1) est vraie pour tout entier naturel n

Conclusion :   pour n = 0 ;   P(0) est vraie et P(n) est héréditaire

                        par récurrence et pour tout entier naturel n  P(n) est vraie  

2) déterminer la limite de la suite (Un)   justifiez la réponse

    lim Un  = lim 3 x 2ⁿ + n - 2    or  lim 3 x 2ⁿ = + ∞ et  lim (n - 2) = + ∞

    n→ + ∞     n→ + ∞                          n→+∞                       n→+∞

donc la lim Un = ∞ + ∞ = + ∞

            n→ + ∞                                                

Explications étape par étape