Encore et toujours je bloque sur les suites numériques :/ Si vous pouviez m'aider, merci !

Réponse :

Explications étape par étape

Bonjour,

1. Montrons par récurrence que pour tout n entier

[tex]u_n<50[/tex]

Etape 1 - initialisation

[tex]u_0=5<50[/tex]

C'est vrai au rang 0

Etape 2 - Nous supposons que c'est vrai au rang k et nous souhaitons démontrer que cela reste vrai au rang k+1

[tex]u_{k+1}=0,8u_k+10[/tex]

Utilisons l'hypothèse de récurrence

[tex]u_k<50\\ \\<=>0,8u_k<50\times 0,8=40\\\\<=>0,8u_k+10<40+10=50\\\\<=> u_{k+1}<50[/tex]

Etape 3 - Conclusion

Nous venons de démontrer que [tex]u_n<50[/tex] pour tout n entier

2) En utilisant le résultat précédent, pour n entier quelconque

[tex]u_{n+1}-u_n=0,8u_n+10-u_n=-0,2u_n+10>-0,2*50+10=0[/tex]

Donc la suite est croissante.

3) La suite est croissante et majorée donc elle converge.

Ce n'est pas demandé mais on peut aller plus loin

Notons l sa limite, elle vérifie

[tex]l=0,8l+10<=>0,2l=10<=>l=50[/tex]

Donc la suite est convergente et converge vers 50

Merci