Bonjour/soir. Je galère sur cette unique exercice de mon compliquer DS de maths. Je ne comprends vraiment rien et je n'ai AUCUNE idée de ce qu'il vaut faire et

Réponse :

U0 = 0  et  Un+1 = √(2Un + 6)

1) a) calculer U1 ; U2 et U3

U1 = √(2U0+6) = √6  ≈ 2.5

U2 = √(2U1+6) = √(2*2.5 + 6) = √11  ≈ 3.3

U3 = √(2U2+6) = √(2*3.3 + 6) = √(12.6) ≈ 3.6

     b) quelle conjecture sur le sens de variation de la suite (Un) pouvez-vous émettre ?

        U1 - U0 = 2.5 - 0 = 2.5 > 0

        U2 - U1 = 3.3 - 2.5 = 0.8 > 0

         U3 - U2 = 3.6 - 3.3 = 0.3 > 0

       Donc  Un+1 - Un ≥ 0  , la suite (Un) est croissante sur N  

2) Montrer que pour tout n ,  0 ≤ Un ≤ 4

    Initialisation :  vérifions que pour n = 0  P(0) est vraie    U0 = 0

                               0 ≤ 0 ≤ 4  donc  0 ≤ U0 ≤ 4  donc  P(0) est vraie

    hérédité :  on note  P(n) :  0 ≤ Un ≤ 4

supposons que pour tout n ∈ N,  P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est vraie

  par hypothèse     0 ≤ Un ≤ 4  ⇔ 0 ≤ 2Un ≤ 8  ⇔ 6 ≤ 2Un + 6 ≤ 14

⇔ √6 ≤ √(2Un + 6) ≤ √14  or √(2Un + 6) ≥ 0  et √(2Un + 6) ≤ √14 ≤ 4

   donc   0 ≤ Un+1 ≤ 4

Conclusion : comme P(0) est vraie  et P(n) est héréditaire  donc P(n) est vraie pour tout entier naturel n

3) Montrer que (Un) est croissante

      Un+1/Un  = √(2Un + 6)/Un   or  √ (2Un + 6) ≥ 0  et  Un ≥ 0

donc  Un+1/Un ≥ 0  donc (Un) est croissante sur N

4) justifier que la suite (Un) est convergente

     (Un) est croissante  et Un ≤ 4   majorée  donc (Un) est convergente          

Explications étape par étape