Bonjour, Je dois étudier les variations de la fonction f(x)= x-5sqrt(x). Pour la dérivée j’ai trouvé : 1 - 5/2sqrt(x) Mais je ne suis pas sûr de savoir comment

Réponse :

bonjour

Explications étape par étape

f(x)=x-5Vx

1) domaine de définition Df=[0;+oo[

2)limites

si x=0 f(x)=0

si x tend vers +oo ; f(x) tend vers +oo - (+oo) on a une FI mais d'après les crioissances comparées la fonction linéaire croît plus vite que la fonction racine carrée  donc f(x) tend vers +oo

3) Dérivée: f'(x)=1-5/2Vx   (ce que tu as trouvé) On notera que f(x) n'est pas dérivable en 0

Signes de la dérivée

f'(x)=(2Vx-5)/2Vx elle s'annule si 2Vx-5=0  ou Vx=5/2   donc x=25/4

4) Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x      0                               25/4                                       +oo

f'(x).................-...........................0......................+........................

f(x)  0 ........décroi...............f(25/4)............croi......................+oo    

f(25/4)=25/4-5V(25/4)=25/4-25/2=-25/4

5)signes de f(x)

D'après le tableau on note que f(x)=0 a deux solutions x=0 et une autre entre 25/4 et +oo (ceci d'après le TVI)

On peut trouver ces solutions en résolvant f(x)=0

x-5Vx=0  posons Vx=X

ce qui X²-5X=0 ou X(X-5)=0  solutions X=0  et X=5

soient Vx=0,  x=0    et Vx=5 ,     x=25

Donc f(x)=0 pour x=0 et x=25  (solutions qui étaient évidentes)

Signes de f(x)

x     0                                25                            +oo

f(x) 0 .............-.........................0   ..............+.................