Bonsoir pouvez vous m'aider svp Soit n un entier naturel. 1. Démontrer que, si un entier k divise 3n+2 et 2n + 1, alors k divise 1. 2. Que peut-on en déduire ?​

Bonjour !

1)

n -> entier naturel

k -> entier

Si k divise 3n+2 et k divise 2n+1, alors k est un diviseur commun de 3n+2 et 2n+1.

Remarque : si m divise a et b (avec a et b entiers et a>b), alors m divise a-b.

Donc si k divise 3n+2 et 2n+1, alors k divise (3n+2) - (2n+1), donc k divise :

(3n+2) - (2n+1) = 3n+2 - 2n - 1 = n + 1.

Donc k divise 3n+2, 2n+1 et n + 1. Donc si k divise 2n+1 et n + 1, alors k divise (2n+1) - (n + 1) = 2n+1 - n - 1 = n.

Donc k divise n. Bon, tu me vois venir...

si k divise n+1 et n, alors k divise (n+1) - n = n + 1 - n = 1.

k divise 1.

2)

Le seul nombre qui divise 1... C'est 1. Donc k=1.

Donc si le (seul) diviseur commun de 3n+2 et 2n+1 est 1, alors 3n+2 et 2n+1 sont premiers entre eux.

Voilà !