bonjour,pourriez-vous m’aider s’il vous plaît je n’arrive vraiment pas Merci d’avance

Réponse :

b) démontrer que AMN est un triangle équilatéral

       AMN est un triangle isocèle  car AM = AN  donc l'angle ^AMN = ^ANM

l'angle ^MAN = ^BAC = 60° (angle commun aux 2 triangles)

  la somme des angles dans un triangle est égale à 180°

   ^AMN + ^ANM + 60° = 180°  ⇔ 2 x ^AMN = 180° - 60° = 120°

⇔ ^AMN = 120°/2 = 60°

donc ^AMN = ^ANM = ^MAN = 60°   donc le triangle AMN est équilatéral

 c) Montrer que H est le milieu du segment (AM)

     NAM est un triangle équilatéral en N  donc la hauteur NH issue de N est aussi médiatrice du segment (AM)  donc (NH) ⊥ (AM) et HM = HA

donc  H est le milieu du segment (AM)

d)  A l'aide du th.Pythagore démontrer que :

HN = (√(3)/2) x

AN² = HN² + HA²  ⇔ HN² = AN² - HA² = x² - (x/2)² = x² - (x²/4) = 3 x²/4

⇒ HN = √(3 x²/4) = √(3)/2) x       x ≥ 0

 e) démontrer que pour tout x ∈ [0 ; 10]

                 BN² = x² - 10 x + 100

Le triangle BNH rectangle en H, donc d'après le th.Pythagore

               BN² = NH² + BH² = 3 x²/4 + (10 - x/2)²

                       = 3 x²/4 + 100 - 10 x + x²/4

                    BN² = x² - 10 x + 100  

  f) répondre alors au problème posé

         x² - 10 x + 100 = x² - 10 x + 100 + 25 - 25 = (x² - 10 x + 25) + 75

   = (x - 5)² + 75

Donc pour M situé à x = 5 par rapport au point A, la distance BN est minimale = 75  

Explications étape par étape