Bonsoir pouvez vous m'aider s'il vous plaît merci. On considère la suite (Un)n définie par U0 =3 et pour tout entier naturel n. Un+1 =3Un/3+2Un 1a-Démontrer par
Question
On considère la suite (Un)n définie par U0 =3 et pour tout entier naturel n.
Un+1 =3Un/3+2Un
1a-Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Un>0.
1b-En déduire que la suite (Un)n est strictement décroissante?
2- Pour tout entier naturel n, on pose :Vn=3/Un
a- Démontrer que (Vn) est une suite arithmétique.
b- En déduire une expression de Vn en fonction de n puis de Un en fonction de n
C- Etudier alors la convergence de la suite U.
1 Réponse
-
1. Réponse croisierfamily
Réponse :
Explications étape par étape :
■ Ton texte semble être Un+1 = 3Un / (2Un + 3)
■ Uo = 3 ; U1 = 1 ; U2 = 0,6 ; U3 = 3/7 ≈ 0,43 ; ...
■ la suite (Un) semble donc bien décroissante ! ☺
■ 1°) récurrons !
■ Un+1 = (3Un + 4,5 - 4,5)/(2Un + 3) = 1,5 - 4,5/(2Un + 3)
donc on doit avoir :
4,5/(2Un + 3) < 1,5
3Un + 4,5 > 4,5
3Un > 0
Un > 0
ce qui est vérifié puisque Uo = 3 est positif !
■ Un+1 - Un = [ 3Un - 2Un² - 3Un ] / (2Un + 3)
= -2Un² / (2Un + 3) toujours négatif
donc la suite (Un) est bien décroissante !
■ 2°) Vn = 3/Un :
Vo = 1 ; V1 = 3 ; V2 = 5 ; V3 = 7 ; ...
Vn+1 - Vn = (2Un + 3)/Un - 3/Un = 2Un/Un = 2
donc la suite (Vn) est bien une suite arithmétique
croissante de terme initial Vo = 1 et de raison r = 2 .
■ Vn = Vo + 2n = 1 + 2n
donc Un = 3/(2n + 1)
■ Limite de Un pour n tendant vers l' infini : zéro
c' est logique puisque (Un) est décroissante et Un est positif .
■ autre méthode pour la Limite de Un :
L = 3L/(2L + 3) donne 2L² + 3L = 3L donc 2L² = 0 d' où L = 0