Bonjour, J'ai trouvé la conjecture : [tex]f^{(k)} (x) = \frac{k! \times ( - 1) ^{k} }{x^{k + 1} } [/tex] Mais je n'arrive pas à la démontrer. Merci d'avance po

Réponse :

Bonsoir,

Explications étape par étape

[tex]f(x)=\dfrac{1}{x} =x^{-1}\\\\f'(x)=(-1)*x^{-2}=(-1)^1*1!*x^{-2}\\\\f''(x)=(-1)^1*1!*(-2)*x^{-3}=(-1)^2*2!*x^{-3}\\1)\\f^{(3)}(x)=(-1)^{2}*2!*(-3)*x^{-4}=(-1)^3*3!*x^{-4}\\\\f^{(4)}(x)=(-1)^{3}*3!*(-4)*x^{-5}=(-1)^4*4!*x^{-5}\\\\2)\\f^{(k)}(x)=(-1)^k*(k-1)!*x^{-k}\\\\[/tex]

3)

la formule est vraie pour k=1

On la suppose vraie pour k et on démontre qu'elle est vraie pour k+1

[tex]f^{(k)}(x)=(-1)^k*(k-1)!*x^{-k}\ est\ vraie.\\\\f^{(k+1)}(x)=(f^{(k)}(x))'=((-1)^k*(k-1)!*x^{-k})'\\=(-1)^{(k)}*(k-1)!*(-k)*x^{-k-1}\\\\\boxed{f^{(k+1)}(x)=(-1)^{k+1}*k!*x^{-(k+1)}}\\[/tex]