Ca fait 1h30 que je suis sur cette exercice , quelqu'un peut m'aider svp. Démontrer par récurrence que, pour tout naturel que 3^2n+1 + 2^n+2 est un multiple de

Réponse :

Montrons par récurrence que la proposition Pn "3^(2n+1) + 2^(n+2) est un multiple de 7" est vraie.

Initialisation :

Pour n=0, 3^(2*0+1) + 2^(0+2) = 3 + 4 = 7

Donc P₀ est vraie.

Hérédité :

Supposons que Pn est vraie pour un certain n fixé quelconque, montrons qu'alors Pₙ₊₁ est vraie, ie Pₙ₊₁ = 3^(2n+3) + 2^(n+3).

Or :

Pₙ₊₁ = 3^(2n+3) + 2^(n+3)

Pₙ₊₁ = 3^(2n+1)*3² + 2^(n+2)*2

Pₙ₊₁ = 9*3^(2n+1) + 2*2^(n+2)

Pₙ₊₁ = [7*3^(2n+1) + 2*3^(2n+1)] + 2*2^(n+2)

Pₙ₊₁ = 7*3^(2n+1) + 2*[3^(2n+1) + 2^(n+2)]

Pₙ₊₁ = 7*3^(2n+1) + 2*[Pₙ]             Par HR

3^(2n+1) et Pn sont un multiple de 7

La proposition est héréditaire.

Conclusion :

D'après le principe de récurrence, 3^(2n+1) + 2^(n+2) est un multiple de 7.