BONSOIR JE SUIS EN TERMINAL SPE MATHS ET J’AI UN PEU DE MAL AVEC CET EXERCICE MERCI DE VOTRE AIDE. On considère la suite (un) définie par U

Réponse :

U0 = 1/2  et Un+1 = 3Un/(1+2Un)  pour tout entier naturel n

1) (a) calculer U1 et U2

  U1 = 3U0/(1+2U0) = 3*1/2/(1+2*1/2) = 3/2/2 = 3/4

  U2 = 3U1/(1 + 2U1) = 3*3/4/(1+2*3/4) = 9/4/5/2 = 9/10

2) démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n,  Un > 0

P(n) : Un > 0    

Initialisation : vérifions que P(0) est vraie

                         U0 = 1/2 > 0  donc P(0) est vraie

Hérédité :  soit un entier naturel  n ≥ 0

                  supposons que P(n) est vraie c'est à dire Un > 0 et montrons que P(n+1) est vraie  c'est à dire  Un+1 > 0

          Un > 0  ⇔ 3Un > 0 ⇔ 3Un/(1+2Un) > 0/(1+2Un)  ⇔ 3Un/(1+2Un) > 0

     donc  Un+1 > 0  donc P(n+1) est vraie

Conclusion : P(0) est vraie et P(n) est héréditaire au rang 0

                     donc par récurrence  P(n) est vraie  pour tout entier naturel n

3) on admet que pour tout entier naturel n,  Un < 1

     (a) démontrer que la suite (Un) est croissante

             Un+1/Un  = 3Un/(1+2Un)/Un

                              = 3Un/Un(1+2Un)

                              = 3/(1+2Un)     or  Un > 0  donc  2Un > 0 donc 1+ 2Un > 1

     donc  1 + 2Un > 0    et  3 > 0  donc  Un+1/Un > 0  donc la suite (Un) est croissante sur N

      (b) démontrer que la suite (Un) converge

                (Un) est croissante sur N

                 Un < 1   majorée

                 donc la suite (Un) est convergente

4)  Vn = Un/(1 - Un)  pour tout entier naturel n

     (a) montrer que la suite (Vn) est une suite géométrique  de raison 3

           Vn+1 = Un+1/(1 - Un+1)

                    = 3Un/(1+2Un)/(1 - (3Un/(1+2Un))

                    = 3Un/(1+2Un)/(1 + 2Un - 3Un)/(1+2Un))

                    = 3Un/(1+2Un)/(1 - Un)/(1+2Un))  

                    = 3Un x (1+2Un)/(1+2Un)(1 - Un)

               Vn+1 = 3Un/(1 - Un)

         donc   Vn+1/Vn = 3Un/(1 - Un)/Un/(1 - Un) = 3Un(1-Un)/Un(1-Un) = 3

  donc la suite (Vn) est une suite géométrique de raison 3

       (b) exprimer pour tout entier naturel n, Vn en fonction de n

                 Vn = V0 x qⁿ

V0 = U0/(1 - U0) = 1/2/(1 - 1/2) = 1

      Donc   Vn = 3ⁿ

  (c) en déduire que, pour tout entier naturel n, Un = 3ⁿ/(3ⁿ + 1)

            Vn = Un/(1 - Un) ;    Vn(1 - Un) = Un  ;   Vn - VnUn = Un

     d'où  Vn = Un + VnUn   donc   Vn = Un(1+Vn)  donc  Un = Vn/(1+Vn)

  soit  Un = 3ⁿ/(1+3ⁿ)

  (d) déterminer la limite de la suite (Un)

          lim Un  = lim (3ⁿ/(1+3ⁿ)  or lim 3ⁿ/3ⁿ = 1

          n→ + ∞                                n→ + ∞

Explications étape par étape