bonjour,voici l'exercice, je l'ai pour demain: 1)Soit n un entier naturel tel que 5 divise n-2 Montrer que 50 divise n^2+n-6 2)Déterminer le chiffre b tel que l

Réponse :

Bsr,

1)

n - 2 = 5 k avec k entier naturel

n² + n - 6 = n² - 4 + n - 2

n² + n - 6 = (n + 2) (n - 2) + n - 2

n² + n - 6 = (n - 2) (n + 2 + 1)

n² + n - 6 = (n - 2) (n + 3)

n² + n - 6 = (n - 2) (n - 2 + 5)

n² + n - 6 = 5 k (5 k + 5)

n² + n - 6 = 25 k (k + 1)

Cas 1 : k pair s'écrit 2 b avec b entier naturel

n² + n - 6 = 50 b (2 b + 1)

b (2 b + 1) entier naturel, du coup 50 divise n² + n - 6

Cas 2 : k impair s'écrit 2 b + 1 avec b entier naturel

n² + n - 6 = 25 (2 b + 1) (2 b + 2)

n² + n - 6 = 25 (2 b + 1) 2 (b + 1)

n² + n - 6 = 50 (2 b + 1) (b + 1)

(2 b + 1) (b + 1) entier naturel, de ce fait 50 divise aussi n² + n - 6

Dans les deux cas possibles, 50 divise n² + n - 6.

2)

815b divisible par 9 : il faut que la somme des chiffres soit un multiple de 9.

8 + 1 + 5 + b = 9 k

14 + b = 9 k

815b divisible par 2 : b pair

k = 0 pas de solution

k = 1  pas de solution

k = 2

14 + b = 18 ⇔ b = 4

k = 3 pas de solution

k trop grand

Le chiffre b cherché est 4.